科普向 關於希尔伯特空间 作者：吾道长不孤 《》 這裡是道长的科普频道！ 正裡，我們的主角王崎第二次使用的金手指，是来自地球的大数家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间。 由于不想再正水字数，所以贫道将這個数方法的科普贴在這裡！有兴趣的书友不妨进来一看哦 阿尔伯特空间并不是确实存在的，而是抽象的、用于演算的工具，即相空间。 每個读過中数的朋友应该都建立過二维的笛卡儿平面：画一條x轴和一條与其垂直的y轴，并加上箭头和刻也就是通常所說的平面直角坐标系。在這样一個平面系统裡，每一個点都可以用一個包含两個变量的坐标（x,y）来表示，例如（1,2），或者（4.3,5.4），這两個数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影。当然，并不一定要使用直角坐标系统，也可以用坐标或者其他坐标系统来描述一個点，但不管怎样，对于2维平面来說，用两個数字就可以唯一地指明一個点了。如果要描述维空间中的一個点，那么我們的坐标裡就要有3個数字，比如（1,2,3），這3個数字分别代表该点在3個互相垂直的维方向的投影。 让我們扩展一下：假如有一個四维空间中的点，我們又应该如何去描述它呢？显然我們要使用含有4個变量的坐标，比如（1,2,3,4），如果我們用的是直角坐标系统，那么這4個数字便代表该点在4個互相垂直的维方向的投影，推广到n维，情况也是一样。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4個乃至11個方向上都互相垂直的，事实上這只是我們在数上构造的一個假想系统而已。 我們所关心的是：n维空间中的一個点可以用n個变量来唯一描述，而反過来，n個变量也可以用一個n维空间中的点来涵盖。 现在让我們回到物理世界，我們如何去描述一個普通的粒呢？在每一個时刻t，它应该具有一個确定的位置坐标（q1,q2,q3），還具有一個确定的动量p。动量也就是速乘以质量，是一個矢量，在每個维方向都有分量，所以要描述动量p還得用3個数字：p1，p2和p3，分别表示它在3個方向上的速。总而言之，要完全描述一個物理质点在t时刻的状态，我們一共要用到6個变量。而我們在前面已经看到了，這6個变量可以用6维空间中的一個点来概括，所以用6维空间中的一個点，我們可以描述1個普通物理粒的经典行为。我們這個存心构造出来的高维空间就是系统的相空间。 假如一個系统由两個粒组成，那么在每個时刻t這個系统则必须由12個变量来描述了。但同样，我們可以用12维空间中的一個点来代替它。对于一些宏观物体，比如一只猫，它所包含的粒可就多了，假设有n個吧，不過這不是一個本质問題，我們仍然可以用一個6n维相空间中的质点来描述它。這样一来，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一個点的运动（假定组成猫的粒数目不变）。我們這样做并不是吃饱了饭闲的缘故，而是因为在数上，描述一個点的运动，哪怕是6n维空间中的一個点，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便。在经典物理中，对于這样一個代表了整個系统的相空间中的点，我們可以用所谓的哈密顿方程去描述，并得出许多有益的结论。 ——部分选自曹天元《量物理史话》