第二十四章首日竞赛 作者：疯子C 2009年，适逢国际数学奥林匹克IMO举办50届，国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。 在這场50周年庆典，出现了很多闻名世界的数学家。 庆典结束后，则是正式比赛，来自全球105個国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。 整個比赛持续一周時間。 比赛选手将在這为期一周的時間内攻克数学难题，争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每個国家的参赛选手，都抱着为国争光的决心前来征战世界。 3月15日，竞赛拉开帷幕 IMO一共六道题，今天考三题，明天考三题，每题7分，满分是42分。每個竞赛日的竞赛時間为4.5個小时，可携带任何文具及作图工具，一切电子设备不被允许带入赛场。 因为竞赛時間较长，各选手可自带食物饮料进场，可并携带不多于三本的参考资料。 但是秦元清除了带了一些吃喝的，其他参考资料一本沒带，因为按照以前的情况，参考资料基本上沒有什么用的，出题人早已考虑到這些，要是参考资料能够找到解决办法，說明出题人的出题水平太烂了。 這就如同国内考试，开卷考往往比闭卷考难得多。 因为本国选手拿到题目，都已经是换成本国文字，所以选手拿到试卷，都不会存在任何语言文字的障碍。 秦元清拿到试卷，只有三题，第一题是最简单的，要是连第一题都不会做，那么后面两题都不用考虑了。 秦元清很冷静，第一道题最简单，是送分题，可是同样的，一不小心就变成了送命题。 “1、n是一個正整数，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整数，并且nai（ai11）对于所有i1，2，.......，k1都成立，证明：ak（a11）不能被n整除。” 秦元清看了三遍题目，心中暗骂一下提供這题的人以后生孩子沒屁眼，竟然暗设陷阱，一個不小心就会答错掉。 秦元清开始作答，首先利用数学归纳法证明：对任意的整数i（2≤i≤k），都有被整除，得出当i2时，由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开，最后得出，ak（a11）不能被n整除的结论。 然后秦元清又看向第二道题。 “△ABC外接圆的圆心为O，P、Q分别在線段CA、AB上，K、L、M分别是BP、CQ、PQ的中点，圆Г過K、L、M并且与PQ相切。证明：OPOQ。” 秦元清這一题审题完成，倒是觉得這一题比上一题容易一些，沒有设陷阱。先是做了一個圆，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点，然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。最后作出圆Г。 随后以直线PQ与圆Г相切，相切点M，然后通過弦切角定理得出∠QMK∠MLK。由于点K、M分别是BP、PQ的中点，所以KM∥BQ，从而得出∠QMK∠AQP。 因此得到∠MLK∠AQP。 同理，∠MKL∠APQ。 根据角的相等，得到△MKL∽△APO，从而得到MK/MLAP/AQ 因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点，所以得到KMBQ/2，LMCP/2，将此带入上式得BQ/CPAP/AQ，将式子转为AP·CPAQ·BQ。通過圆幂定理知OP2OA2AP·CPOA2AQ·BQOQ2 所以，得出结论OPOQ。 秦元清连检查都沒有检查，将抽向的数学問題转为图像，這個是他擅长的地方，他有十全的把握证明。 紧接着秦元清看向第三题，“3、S1，S2，S3，......是严格递增的正整数数列，并且它的子数列SS1、SS2、SS3，.....和SS11，SS21，SS31......都是等差数列。证明：S1，S2，S3......是一個等差数列。” 看着這一题，秦元清微皱起眉头，這一题明显比前面两道题难得多，秦元清将已知條件稍微捋了一下，這一道题融合了等差数列、以及转换法。 秦元清一步一步地展开，通過数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列，设Sska（k1）d1，SSk1b（k1）d2（k1，2......，a、b、d1、d2∈N）。 将問題转为函数、数列后，以Sk 相关